0 前言

　　五軸聯(lián)動(dòng)是在三個(gè)平動(dòng)坐標(biāo)(X，Y，Z)的基礎(chǔ)上引入兩個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。五軸加工可以實(shí)現(xiàn)刀具對(duì)工件，尤其是對(duì)于復(fù)雜自由曲面多角度全方位加工，使得加工效率和加工質(zhì)量大大提高。但是在引入旋轉(zhuǎn)軸的同時(shí)也帶來(lái)了奇異問(wèn)題。即當(dāng)?shù)遁S矢量平行或接近于奇異軸時(shí)，通過(guò)反解運(yùn)動(dòng)學(xué)求得的機(jī)床旋轉(zhuǎn)角不確定，產(chǎn)生奇異問(wèn)題。這時(shí)，機(jī)床某些軸運(yùn)動(dòng)劇烈，其動(dòng)力學(xué)特性無(wú)法滿足這個(gè)變化。因此，如何提前檢測(cè)奇異域的位置，避開(kāi)或者對(duì)其進(jìn)行處理對(duì)提高機(jī)床加工精度和效率非常重要。

　　國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量的研究。AFF.OUARD.A等人通過(guò)多項(xiàng)式插補(bǔ)修改走刀路徑來(lái)避開(kāi)奇異錐形區(qū)域，但是插補(bǔ)算法復(fù)雜，計(jì)算量大；MUNLIN．M等在奇異域內(nèi)利用迪特拉斯算法選擇最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角度解來(lái)降低旋轉(zhuǎn)角的急劇變化，但是這只是對(duì)旋轉(zhuǎn)角進(jìn)行了優(yōu)化，并沒(méi)有從實(shí)質(zhì)上解決問(wèn)題；KNUT.S通過(guò)修改C轉(zhuǎn)角并在奇異點(diǎn)附近插入刀位點(diǎn)避免加工經(jīng)過(guò)奇異點(diǎn)時(shí)誤差過(guò)大，但是這四篇文獻(xiàn)里面均沒(méi)有對(duì)奇異域進(jìn)行檢測(cè)，而是直接觀察旋轉(zhuǎn)角的變化來(lái)判斷奇異點(diǎn)。王丹等通過(guò)對(duì)機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸的變化量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，找出存在過(guò)大非線性誤差的刀位點(diǎn)，并使用線性插值的方法進(jìn)行修正，但是這種方法僅僅考慮位置或角度的變化，并沒(méi)有考慮機(jī)床的速度加速度等動(dòng)力學(xué)特性。中科院的王峰等人將相鄰點(diǎn)機(jī)床各軸的運(yùn)動(dòng)變化量和雅克比矩陣結(jié)合起來(lái)檢測(cè)奇異域，并且提出一種奇異域內(nèi)加工路徑優(yōu)化方法來(lái)減少非線性誤差，但是雅克比矩陣的條件數(shù)計(jì)算比較難，并且‘病態(tài)’條件數(shù)也沒(méi)有精確的定量標(biāo)準(zhǔn)，故效率比較低。在目前的數(shù)控系統(tǒng)如西門(mén)子等里面也已經(jīng)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題有了一定的解決方法。

　　本課題組在文獻(xiàn)中結(jié)合機(jī)床的動(dòng)力學(xué)特性等提出了一種求解奇異域大小的方法彌補(bǔ)了文獻(xiàn)無(wú)法確定奇異域大小的不足。本文也是在這個(gè)基礎(chǔ)上，提出了一種幾何的奇異區(qū)域檢測(cè)方法，根據(jù)相鄰兩刀軸矢量所在插補(bǔ)平面與奇異域的位置關(guān)系，判斷插補(bǔ)是否經(jīng)過(guò)奇異域。并且針對(duì)相鄰兩刀軸矢量與奇異

　　區(qū)域的不同位置關(guān)系，采用一種特殊的奇異域內(nèi)線性插補(bǔ)方法，使得非線性誤差盡可能的減少。

1 五軸機(jī)床的奇異問(wèn)題

　由AC雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸機(jī)床反向運(yùn)動(dòng)學(xué)變換求得A、C角的解為：

　　奇異點(diǎn)：A角的解不存在奇異問(wèn)題，而C角的解在i=0且j=0的時(shí)候無(wú)法確定，即為奇異點(diǎn)。這時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)和刀軸是垂直的，無(wú)論C角取何值都不影響該點(diǎn)的刀軸方向。

　　奇異域：事實(shí)上，當(dāng)?shù)遁S矢量與奇異軸的夾角小于某一特定角度的時(shí)候，旋轉(zhuǎn)軸的角度的變化就越來(lái)越大，會(huì)產(chǎn)生較大誤差，這一特定的角度即為奇異值，其所形成的區(qū)域在空間為一圓錐區(qū)域，如圖1所示，我們稱(chēng)之為奇異區(qū)域。

2 奇異域的檢測(cè)

　　(1)奇異值的計(jì)算

　　(2)奇異域的檢測(cè)

　　主要算法為：首先，根據(jù)已知條件計(jì)算奇異域的大小min；其次，分別計(jì)算初始刀軸矢量和終止刀軸矢量與奇異軸的夾角，根據(jù)初始和終止刀軸矢量與奇異域的位置關(guān)系分類(lèi)判斷插補(bǔ)是否經(jīng)過(guò)奇異域。如果終止刀軸矢量與奇異軸的夾角<min，那么認(rèn)為刀具路徑經(jīng)過(guò)奇異域，記為類(lèi)型b；如果終止刀軸矢量不在奇異域內(nèi)，起始刀軸矢量與奇異軸的夾角<min，則認(rèn)為刀具路徑經(jīng)過(guò)奇異域，記為類(lèi)型；如果起始和終止刀軸矢量均不在奇異域內(nèi)，那么計(jì)算奇異軸與由初始刀軸矢量和終止刀軸矢量所構(gòu)成的平面(即插補(bǔ)平面)的夾角，如果<min。那么刀具路徑經(jīng)過(guò)奇異域，記為類(lèi)型c；如果不滿足以上條件則不經(jīng)過(guò)奇異域，記為類(lèi)型O。

　　如圖3所示，從OA到OB經(jīng)過(guò)奇異域，為類(lèi)型a；OB到OC經(jīng)過(guò)奇異域，為類(lèi)型C；OC到OD經(jīng)過(guò)奇異域?yàn)轭?lèi)型b；OB到OE不經(jīng)過(guò)奇異域。

　　根據(jù)上面算法，我們可以通過(guò)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證算法的有效性。兩組刀位點(diǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)過(guò)本算法所測(cè)出的奇異域的位置和類(lèi)型。由表可知第一組數(shù)據(jù)區(qū)間1～3(第1點(diǎn)到第4點(diǎn)之間)的奇異類(lèi)型為類(lèi)型b，而區(qū)間4(第4點(diǎn)到第5點(diǎn)之間)的類(lèi)型為類(lèi)型a；第二組數(shù)據(jù)區(qū)間1不經(jīng)過(guò)奇異域，區(qū)間2類(lèi)型為類(lèi)型c。

3 奇異域的處理

　　當(dāng)?shù)毒呗窂酵ㄟ^(guò)奇異域時(shí)，機(jī)床某些軸將劇烈運(yùn)動(dòng)．造成過(guò)大非線性誤差，容易損壞機(jī)床，需要進(jìn)行處理。本文根據(jù)所檢測(cè)出的奇異域類(lèi)型進(jìn)行針對(duì)性的處理，具體算法：當(dāng)奇異類(lèi)型為b和C時(shí)，A軸線性轉(zhuǎn)動(dòng)插值，C軸不動(dòng)；當(dāng)奇異類(lèi)型為a時(shí)，AC軸均線性轉(zhuǎn)動(dòng)插值；當(dāng)不經(jīng)過(guò)奇異域時(shí)，按原來(lái)方法處理。

4 仿真驗(yàn)證

　　本文對(duì)文獻(xiàn)中的表1中刀位點(diǎn)(如表3)進(jìn)行仿真對(duì)比，說(shuō)明本算法的有效性。設(shè)定進(jìn)給速度600mm／min；XYZ軸的最大進(jìn)給速度為5160ram／min，最大加速度為500mm／s2。插補(bǔ)周期0.002s；C軸最大轉(zhuǎn)速限制為300;每秒；最大角加速度Amax=13.96rad／s2(800／s2)；最大角加加速度Jmax=7000rad／s3。從而可計(jì)算得奇異域大小為dmin=0.0644。RTCP移動(dòng)坐標(biāo)軸補(bǔ)償?shù)臋C(jī)床參數(shù)為：A軸旋轉(zhuǎn)中心到C軸旋轉(zhuǎn)中心矢量(0，-0.099，0)；機(jī)床零點(diǎn)到工作臺(tái)安裝基點(diǎn)矢量(0．084，0.239，-198.408)；C軸旋轉(zhuǎn)中心到工作零點(diǎn)矢量(-0.084，-0.14，198.408)。

　　表中列出的刀位點(diǎn)未經(jīng)本算法處理和經(jīng)過(guò)本算法處理描繪出的x、y和C軸坐標(biāo)的變化曲線。可見(jiàn)，經(jīng)本算法檢測(cè)出從第2點(diǎn)到第7點(diǎn)經(jīng)過(guò)奇異域，類(lèi)型為b，而第7點(diǎn)到第8點(diǎn)的過(guò)程也經(jīng)過(guò)奇異域，類(lèi)型為口。由此可知本算法在求得奇異域的大小范圍之后，亦可以如文獻(xiàn)中檢測(cè)出第3和第6區(qū)間屬于奇異區(qū)域。未經(jīng)過(guò)本算法處理之前，奇異位置x軸的最大變化量較小為-8.382mm，而y軸的最大變化量為88.075mm，C軸的最大變化量為55.84。；處理后，三軸的變化量分別減小為3.808mm，11.375mm和2.22。由此可見(jiàn)經(jīng)過(guò)本算法處理以后運(yùn)動(dòng)軸在經(jīng)過(guò)奇異域時(shí)速度變化不再那么劇烈。由于z軸和A軸的變化量始終不是很大，故這里不作列出。另外，上述兩圖中序號(hào)分別為區(qū)間序號(hào)，即表示所取的刀位點(diǎn)中第幾對(duì)相鄰點(diǎn)。

　　經(jīng)過(guò)本算法處理的非線性誤差，可知經(jīng)過(guò)本算法處理之后的非線性誤差降低到0.025mm以下，比文獻(xiàn)中處理后的誤差小，符合要求。由圖8可見(jiàn)在不經(jīng)本算法處理的情況下，由于機(jī)床各軸的最大運(yùn)動(dòng)速度所限制，加工路徑中出現(xiàn)了尖點(diǎn)的情況，明顯偏離理想軌跡，誤差較大。而經(jīng)過(guò)本算法處理之后加工路徑比較接近理想軌跡。

5 總結(jié)

　　本文根據(jù)機(jī)床的動(dòng)力學(xué)特性求解奇異域大小，并以此作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，提出一種幾何算法，可以根據(jù)起始刀軸矢量和終止刀軸矢量，在未經(jīng)插補(bǔ)的時(shí)候，預(yù)知五軸加工是否會(huì)經(jīng)過(guò)奇異域，并且對(duì)加工處于的奇異域狀態(tài)進(jìn)行了分類(lèi)，在后續(xù)處理的過(guò)程中針對(duì)不同的奇異域類(lèi)型采用不同的插補(bǔ)方法，能夠有效的解決奇異問(wèn)題，避免加工中出現(xiàn)各軸變化量突變和造成機(jī)床的損壞，同時(shí)也可以減小非線性誤差，具有實(shí)用性。