在實際的產(chǎn)品設(shè)計中經(jīng)常用到組合曲面。所謂組合曲面，就是將不同的曲面片以一定的方式連接起來組成的曲面。組合曲面雖能方便地表達(dá)復(fù)雜的形狀，但卻帶來另一個問題，這就是組合曲面中曲面間的過渡問題。若想讓單張曲面間滿足特定的條件直接連接，這將是極端困難的，甚至是不可能的。于是。人們采用在組合曲面間加入過渡面來處理曲面間的過渡問題。由于過渡面在產(chǎn)品的性能、外觀、加工等方面的重要作用，因此這方面的研究較多。雖然目前對曲面過渡問題研究較多，且算法日臻完善，但它們都是僅僅從數(shù)學(xué)的角度對過渡問題進(jìn)行研究，而沒有考慮加工的要求，這樣建立的過渡面可能無法加工出來或者加工時必須增加換刀次數(shù)而使加工的效率降低。為此，本文擬從數(shù)控技術(shù)加工的角度對曲面過渡技術(shù)進(jìn)行研究。1. 自由曲面光滑過渡理論

　　用曲面對組合曲面進(jìn)行連接過渡時，過渡面與組合曲面間必需滿足一定的光滑度(也稱光順性)要求。目前，有兩種不同的關(guān)于連接光順性的度量：一種是傳統(tǒng)的參數(shù)連續(xù)性，另一種為幾何連續(xù)性。參數(shù)連續(xù)性的定義是：當(dāng)且僅當(dāng)兩曲面P(s, t)與Q(u, v)沿它們的正則公共連接線P(g)=Q(g)處處具有直到n階的偏導(dǎo)矢，則稱它們沿該連接線具有n階參數(shù)連續(xù)性或是Cn的連續(xù)性。而幾何連續(xù)性的定義是：兩曲面 P(s, t)與Q(u, v)沿它們的正則公共連接線 P(g)=Q(g)具有n階幾何連續(xù)性或是Gn的連續(xù)性。當(dāng)且僅當(dāng)其中是一可被重新參數(shù)化以使得它們沿該公共連接線具有n個參數(shù)連續(xù)性或是Cn的連續(xù)性。人們在實踐中逐步認(rèn)識到，傳統(tǒng)的參數(shù)連續(xù)性在度量非參數(shù)形式的曲面的光順性時是恰當(dāng)?shù)?，但用于參?shù)形式的曲面的光順性時則是對光順的不必要的過度限制，因此，它不能確切度量參數(shù)曲面的光滑度。幾何連續(xù)性是對參數(shù)連續(xù)性必要的松馳，也是對參數(shù)化的必要松弛，但決不是光滑度的松馳，這樣，它可以為形狀定義和形狀控制提供額外的自由度。因此，幾何連續(xù)性是對參數(shù)曲面光順性比較理想的度量?？紤]到現(xiàn)在參數(shù)曲面已成為自由曲面的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)形式，本文也采用幾何連續(xù)性處理過渡面與組合曲面之間連接的光滑性問題。而且綜合考慮精度和效益原則，本文僅采用G1及一階幾何連續(xù)性。該連續(xù)性可表達(dá)為：兩曲面P(s, t)與Q(u, v)沿它們的正則公共連接線P(g)=Q(g)具有一階幾何連續(xù)性或是G1的連續(xù)性"當(dāng)且僅當(dāng)它們沿該公共連接線處處具有公共的切平面或公共的曲面法線。

2. 面向數(shù)控加工的曲面過渡技術(shù)

　　如前所述，目前幾何造型系統(tǒng)中的曲面過渡僅從數(shù)學(xué)的角度而沒有考慮到數(shù)控技術(shù)加工的要求。本文提出的面向數(shù)控技術(shù)加工的組合自由曲面的過渡技術(shù)不僅滿足數(shù)學(xué)上的光順性要求，更重要的是它考慮到數(shù)控技術(shù)加工的特點。該曲面過渡技術(shù)主要包括以下幾步。

　　組合曲面的離散并求出組合曲面的交線

　　對自由曲面的離散目前的研究較多，其算法也比較成熟，此處不做深入的分析。本文采用三角形離散化方法對組合曲面進(jìn)行離散，該方法的具體實現(xiàn)請參閱相關(guān)文獻(xiàn)。組合曲面經(jīng)過離散后，求解它們的交線(用微線段近似表示)也是很容易的，此處也不再贅述。

　　用截平面截組合曲面并得出截交線

　　目前的組合曲面數(shù)控技術(shù)加工大體上有運算符法、區(qū)域加工法和截面法三種。其中截面法是將刀位軌跡規(guī)劃在一組相互平行的平面上，且通常是一組垂直于XY面的平面。該方法是組合曲面加工中最常用的方法，它能夠?qū)⒔M合曲面視為一個整體進(jìn)行加工，刀具軌跡跨越整個組合曲面，加工效率較高。故本文也針對該加工方法提出組合曲面的過渡方法。當(dāng)采用垂直于XY面的平面截已經(jīng)過離散的組合曲面時，同樣能方便地得出用微線段表示的截交線。

　　求出組合曲面在截交線處的曲率

　　當(dāng)求出組合曲面與平面的交線后，即可求出截平面與三角形片各邊交點(各微線段的端點)處的曲面的曲率。其求解過程為　　Kn= f2 = Ldu+2Mdudv+Ndv　　f1 Edu+2Fdudv+Gdv　　(1)　　式中 Kn──曲面的法曲率　　f1──曲面第一不變量, E=PuPu;F=PuPv;G=PvPv　　f2──曲面第二不變量, L=nPuu; M=nPuv; N=nPvv　　得出法曲率之后，通過求解其極值，即可求出該點最大 曲率。求解極值公式為：　　KnE-L KnF-M　　KnF-M KnG-N　　(2)

　　當(dāng)組合曲面與截平面交線處曲面的曲率被求出之后，即可采用下面的公式計算下一個截平面與當(dāng)前截平面 的間距為

　　l= {4(R+r)(h+r)-[r+2Rr+(h+r)]}　　(R+r)(h+r)　　(3)　　式中 l──兩條相鄰截平面的最大間距, mm　　r──組合曲面上沿截平面的最小曲率半徑, mm　　R──球頭刀具的球頭半徑, mm　　h──允許的殘余高度, mm　　同時，記下當(dāng)前截平面與組合曲面交線上曲面曲率最大的值。這樣，即可得出各個截平面與組合曲面的交線處曲面的曲率的最大值。

　　分析確定合理的組合曲面過渡半徑

　　當(dāng)各個截平面處的曲率的最大值求出后，即可分析判斷組合曲面的過渡半徑。在數(shù)控加工中，無干涉刀位軌跡的生成，尤其其中的軌跡的干涉檢驗與處理是最復(fù)雜的環(huán)節(jié)。而刀具半徑(此處指球頭刀具)的選擇和加工中換刀的次數(shù)是影響加工效率的兩個最主要因素。若單獨考慮，刀具半徑越大，加工效率越高；而換刀次數(shù)越少，加工效率越高。但對于給定的曲面，選擇的刀具半徑越大，往往意味著換刀次數(shù)的增多。本文的目標(biāo)是盡量使組合曲面不因增加過渡面而降低效率。基于此，我們提出的過渡曲率半徑準(zhǔn)則如下：

　　如果 組合曲面對過渡曲率半徑有明確的數(shù)值要求，則各截平面對應(yīng)的過渡半徑為要求的數(shù)值；

　　如果 所有截平面對應(yīng)的最大曲率中的最大者小于經(jīng)濟(jì)刀具的球頭曲率，經(jīng)濟(jì)刀具就是最經(jīng)濟(jì)的刀具，該刀具使加工效率最高，則各截平面對應(yīng)的過渡半徑為該刀具的球頭半徑

　　組合曲面在每個截平面對應(yīng)的過渡半徑為該截平面對應(yīng)的最大曲率的倒數(shù)。

　　采用三次B樣條曲面進(jìn)行擬合得出過渡面

　　得出組合曲面的各截平面對應(yīng)的過渡半徑后，我們首先用該曲率半徑的圓弧將同一截平面對應(yīng)的組合曲面的截交線進(jìn)行G1光滑圓角過渡，這樣，我們便得到一系列圓弧，并記下各過渡圓弧段的起點和終點，也即過渡圓弧和組合曲面截交線的交點，這些起點和終點的連線即為組合曲面與過渡面的公共連接線。之后我們采用曲面擬合技術(shù)對此一系列圓弧進(jìn)行擬合得出要求的過渡面。本文采用三次準(zhǔn)均勻B樣條曲面作為擬合面的形式。如前所述，本文采用G1連續(xù)性作為組合曲面和過渡面的光順準(zhǔn)則。該準(zhǔn)則表達(dá)如下：兩曲面P(s,t)與Q(u,v)沿它們的正則公共連接線P(g)=Q(g)具有一階幾何連續(xù)性或是G1的連續(xù)性，當(dāng)且僅當(dāng)它們沿該公共連接線處的不相重合的四個切矢Ps(g)，Pt(g)，Qu(g)和Qv(g)應(yīng)當(dāng)共面，該共面條件在數(shù)學(xué)上可表達(dá)為(Ps×Pt)×(Qs×Qt)=(Ps,Pt,Qv)Qu(Ps,Pt,Qv)Qu=0。由于B樣條曲面的局部修改性，所以可單獨將過渡面與組合曲面的各個面分別進(jìn)行G'光滑過渡。過渡時，首先在每段圓弧段上取若干點，且為了方便，在各個圓弧上的點數(shù)應(yīng)相同；然后以圓弧段方向為u方向，以各個圓弧段上對應(yīng)點的連線為v方向；之后采用B樣條反求算法求出對應(yīng)的控制點。最后，根據(jù)上面提及的G1光滑條件$對控制點稍作變動即可擬合出滿足條件的過渡面。3. 結(jié)語 本文提出的面向數(shù)控加工的曲面過渡技術(shù)從數(shù)控技術(shù)的角度對組合曲面的過渡技術(shù)進(jìn)行了深入系統(tǒng)的研究并提出了相應(yīng)的算法。它避免了傳統(tǒng)的曲面過渡技術(shù)純粹從數(shù)學(xué)的角度而沒有考慮加工的可行性和效率的缺點，不但使生成的過渡面可滿足光順性的基本要求，而且使在對其進(jìn)行加工時盡量減少了換刀的次數(shù)，提高了加工的效率。這為曲面過渡技術(shù)提供了新的思路，同時有利于CAD/CAM一體化的進(jìn)程。