0 前言

　　隨著制造業(yè)的不斷發(fā)展，復(fù)雜型面工件加工的用戶需求日益擴(kuò)大，因此，對復(fù)雜曲線運(yùn)動規(guī)劃方法的研究，也日益成為數(shù)控技術(shù)發(fā)展的首要任務(wù)，是否具有復(fù)雜曲面的加工功能，已成為評價高性能數(shù)控系統(tǒng)的重要指標(biāo)之一。

1 開放式數(shù)控系統(tǒng)樣條曲線運(yùn)動規(guī)劃概述

　　采用直線插補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜曲面的高速、高精度加工需要較高的配置。除了通過用直線段逼近復(fù)雜曲線來實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜曲面的加工外，還可以用樣條來擬合復(fù)雜曲線，通過直接對樣條曲線進(jìn)行插補(bǔ)來實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜曲線的加工。在相同精度的條件下樣條曲線比直線段能描述更長的零件輪廓，首先，對于同一個復(fù)雜曲面來說，在相同的精度條件下，用樣條擬合后，其G代碼文件的大小不會超過用微小直線段方法的1/10；其次，由于在相同精度的條件下樣條曲線段比直線段能描述更長的零件輪廓，因此，采用樣條方法后，每條G代碼規(guī)定的刀具路徑的長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于用微小直線段方法的刀具路徑長度，這樣解釋器在單位時間內(nèi)可以解釋更長的刀具路徑，使原來的數(shù)據(jù)饑荒問題可以得到解決。另外由于樣條曲線可達(dá)到C2連續(xù)光滑，能夠避免刀具運(yùn)動方向的突然變化，并能改善刀具的受力情況，使得刀具可以光滑地、“柔順地”從一點(diǎn)移到另一點(diǎn)，不會出現(xiàn)任何突然轉(zhuǎn)向，從而可以提高加工精度。由此看出，采用樣條方法可以以較小的成本，實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜曲線的高速、高精度加工。由于樣條方法具有G代碼文件小、擬合精度高、進(jìn)給速度大、無數(shù)據(jù)饑荒等優(yōu)點(diǎn)，樣條插補(bǔ)已經(jīng)逐漸應(yīng)用于高檔NC系統(tǒng)。采用參數(shù)樣條曲線的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)為所有有關(guān)曲線的操作都是在參數(shù)域內(nèi)進(jìn)行的，如各坐標(biāo)點(diǎn)的計算，曲線的幾何變換等，而且參數(shù)曲線的坐標(biāo)維數(shù)可以方便地增加，數(shù)控插補(bǔ)中的多坐標(biāo)聯(lián)動插補(bǔ)可以直觀地通過參數(shù)聯(lián)系起來。需要解決的關(guān)鍵問題是三次樣條長度的計算、步長參數(shù)的計算、插補(bǔ)遞推公式、以及根據(jù)步長參數(shù)求得三次樣條曲線上對應(yīng)的型值點(diǎn)。

2 刀具軌跡曲線的描述

　　三次樣條曲線可以用下列參數(shù)方程表示：

　　式中：RK，J（K＝1，2，3）是第i段三次樣條的系數(shù)矢量矢量，可以是二維的，也可以是三維的；u是無量綱參數(shù)，其取值范圍為：0≤u≤1。

　　由上式可知，如果給定n＋1個節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和2個邊界條件，就可唯一確定一條刀具軌跡曲線，即通過求解所構(gòu)成的n＋l維線性方程組，可以得到通過任意兩個相鄰節(jié)點(diǎn)Pl和Pl＋1，的三次樣條曲線段的多項式矢量系數(shù)RK，Jk（k＝1，2，3）。

　　在采用基于S曲線加減速的運(yùn)動規(guī)劃方法時，需要注意的是如何從三次樣條曲線上得到輪廓步長為ds時對應(yīng)的軌跡點(diǎn)，以及三次樣條曲線的長度計算。

3 步長參數(shù)的計算及插補(bǔ)遞推公式

　　步長參數(shù)的計算必須保證算法能在一個插補(bǔ)周期內(nèi)實(shí)時完成，因而算法應(yīng)盡量簡單。由于每個步長參數(shù)增量都是對應(yīng)于一個插補(bǔ)周期的，因而弦長相對于整個曲線而言是一個小量，為簡化計算可用弧長ds代替弦長，由式（1）可得：

　　到此為止，可以按如下方法計算步長參數(shù)u，根據(jù)u計算得到三次樣條曲線上的型值點(diǎn)：在插補(bǔ)開始時，u0＝0，由此可以得到插補(bǔ)遞推公式：

　　參數(shù)u確定以后，根據(jù)式（1）可以很容易得到每個第n個插補(bǔ)周期的型值點(diǎn)。4 三次參數(shù)樣條運(yùn)動規(guī)劃方法的實(shí)現(xiàn)

　　在參數(shù)三次樣條運(yùn)動規(guī)劃方法的實(shí)現(xiàn)中定義了如下C結(jié)構(gòu)體來描述兩個型值點(diǎn)之間的三次樣條曲線：

　　由于在三次樣條曲線的構(gòu)造過程中，要求解，t＋1維線性方程組來確定各段三次樣條的系數(shù)，這個過程中包含大量的浮點(diǎn)運(yùn)算，使算法的實(shí)時性難以得到保證。因此，在三次樣條曲線運(yùn)動規(guī)劃方法實(shí)現(xiàn)中，應(yīng)該引入了一個三次樣條運(yùn)動規(guī)劃預(yù)處理指令，通過該指令，把計算量較大、實(shí)時性要求不高的工作，如計算出各軸的三次曲線參數(shù)方程的系數(shù)及三次樣條的長度等放在預(yù)處理階段完成。當(dāng)預(yù)處理結(jié)束時，才開始三次樣條曲線的實(shí)時插補(bǔ)，參數(shù)化三次樣條實(shí)時插補(bǔ)算法流程如圖1。在非實(shí)時仿真環(huán)境下對表1給出的型值點(diǎn)對應(yīng)的C樣條曲線進(jìn)行了規(guī)劃測試，參數(shù)配置如下：amax＝1000m/s2；v＝150mm/min；vmax＝6000mm/min；cycleTime＝0.002s。其中，amax為最大加速度，、為指定的編程速度，vmax系統(tǒng)的軸最大速度，cycleTime為插補(bǔ)周期。

圖1 三次樣條實(shí)時插補(bǔ)算法流程

　　由測試可知（曲線圖略，可以根據(jù)值點(diǎn)列表對應(yīng)得出），基于樣條曲線的運(yùn)動規(guī)劃方法也可以在數(shù)控的運(yùn)動控制器中實(shí)現(xiàn)。